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Wednesday, October 19, 2005

INVESTIGACIÓN DE MATEMÀTICA

1. ¿Qué es exponentes, raíces y radicales?

Exponentes:

Si n es un entero positivo, la notación exponencial a2 que se define en la tabla, representa el producto del número real a multiplicado n veces por si mismo. La expresión a2 se lee a a la enésima potencia o simplemente a a la n. El entero positivo se llama exponente y el numero real a, base.

Notación exponencial

Caso general
(n es cualquier entero positivo)

Casos especiales

(1)

Raíces:

Sabemos que 72 = 49. Esta igualdad la podemos expresar también como

raiz7.gif (1051 bytes)

y se lee 7 es igual a la raíz cuadrada de 49. En general, se define la raíz cuadrada de un número a como otro número b tal que b2 = a.

Igualmente, se define raíz n-sima de un número a al número b tal que bn = a

Y escribimos:

raizb.gif (1139 bytes)

El número a se llama radicando y el número n, índice.

Por ejemplo:

(2)

Radicales:
<
http://descartes.cnice.mecd.es/3_eso/Radicales/radicales1.htm>

Exponentes radicales, Student star, visitada el miercoles 18 de Octubre del 2005 <http://student_star.galeon.com/expyrad01.htm>

Raiz de un número, Fernando Arias Fernández-Pérez, visitada el 18 de Octubre del 2005, disponible en la web:
<http://www.cnice.mecd.es/Descartes/3_eso/Potencias/Potencias33.htm>


Potencia de base real y exponente entero

Potencia: Toda potencia de exponente negativo es igual a la unidad dividida por la misma potencia con exponente positivo.

(1) Potencia de basereal y exponente entero,Miguel Angel Cabezón Ochoa, visitada el miercoles 18 de Octubre del 2005 <http://descartes.cnice.mecd.es/3_eso/Potencias_mac/potencias1.htm>

Ecuaciones exponenciales:

Como el nombre indica, son sistemas de ecuaciones donde una o más de ellas son de tipo exponencial.

Los métodos de resolución numéricos son idénticos a los expuestos para las ecuaciones.

Gráficamente basta respresentar las ecuaciones correspondientes que se pueden escribir tal y como se nos presentan.

Ejercicio 5.- Resolver numéricamente el sistema de ecuaciones siguiente y comprobar gráficamente la solución.

2x - 3y-1 = 5

2x+1 + 8·3y =712


Raíces de números reales.
Sean n un numero entero positivo mayor de 1 y a , un numero real.
1) Si , entonces
2) Si , entonces es el número real positivo b tal que .
3) a) Si y n es non, entonces es el numero real negativo b tal que .
b) Si y n es par, entonces no es un número real.


Si n=2 se escribe en lugar de y se llama raíz cuadrada principal de o simplemente raíz cuadrada de a. El número es la raíz cúbica de a.




Radicación algebraica

La radicación es la función inversa a la potenciación. La radicación entre un número natural a llamado radicando y otro número natural n llamado índice, es igual a un número b llamado raíz, que elevado a la potencia n da como resultado el número a.
y se lee raíz n de a es igual a b.

A partir de la definición anterior podemos decir que la radicación de un número natural es una función que a algunos pares ordenados de números naturales le hace corresponder otro número natural llamado raíz. La radicación exacta sólo está definida para pares ordenados en los cuales:



Clasificación de radicales

Propiedades:

Para el buen uso de los radicales es necesario tener en cuenta una serie de propiedades que se indican a continuación.

1. Raíz de una raíz:

Por ejemplo,

2. Raíz de una potencia:

Por ejemplo,

3. Simplificación:

Por ejemplo,

4. Raíz de un producto:

Por ejemplo,

Esta propiedad es útil para sacar un factor de una raíz:

5. Raíz de un cociente:

Por ejemplo,

6. Suma de radicales:

Por ejemplo,

Sin embargo, otro tipo de sumas con radicales no se puede simplificar. Es el caso, por ejemplo, de

que hay que dejarla indicada o calcular sus aproximaciones decimales y sumar sus resultados.

Lo mismo sucede con la expresión

Sin embargo, la expresión

sí se puede simplificar porque, operando con los radicales, se obtienen radicales semejantes:

Por tanto,

Exponente fraccionario

EXPONENTE FRACCIONARIO.

Sea a la base de una potencia y m/n el exponente al cual se encuentra elevada dicha base, por lo tanto (\).

am/n = n am = ( n a ) m = n am = ( 3 82 ) m

Donde:

A= 8 m = 2 n = 3 8 2/3 = 8 xy (2/3) = 4 (3 8 )2 = 4

Exponente fraccionario, geocities, visitada el 25 de Octubre del 2005, disponible en la web:
<
http://64.233.161.104/search?q=cache:-3zJH4iQ1KYJ:espanol.geocities.com/jefranco_2000mx/EXPONENTES.htm+exponente+fraccionario&hl=es>


Reducción de radicales

La reducción de radicales de un índice común es utilizar en la multiplicación y en la división de expresiones con radicales; también se aplica esta operación cuando se trata de comparar numéricamente varios radicales sin hacer las correspondientes extracciones de raíces. Reducir los radicales siguientes a otros equivalentes del mismo índice.

'Radicales'

m. c. i.= 12

'Radicales'

Rincon del vago, Reducción de Radicales, visitada el 25 de Octubre del 2005, disponible en la web:
<
http://html.rincondelvago.com/radicales_2.html>

Simplificación de radicales

Simplificar u radical es obtener otro equivalente de índice menor. Si los exponentes de la cantidad subradical y el índice del radical son divisibles entre un mismo número, calculamos el m.c.d. del índice y de los exponentes y dividimos cada uno entre el m.c.d.

Para simplificar esta expresión, calculamos el m.c.m. del índice y de los exponentes de la cantidad subradical m.c.d. (14, 21, 63) = 7

Monografias, Simplificación y Ampliacion de Radicales, visitada el 25 de Octubre del 2005, disponible en la web:
<
http://www.monografias.com/trabajos10/radic/radic.shtml#si>


Operaciones con radicales:

Adicion // Sustraccion de Radicales

Para suma o restar radicales es necesario que sean semejantes, es decir, que tengan el mismo indice y el mismo radicando. Cuando los radicales son semejantes, solo es necesario sumar sus respectivos coeficientes.

adición de radicales.gif (1494 bytes)

Multiplicación.

3.1. Producto de radicales del mismo índice.-
Para multiplicar radicales del mismo índice se deja el índice y se multiplican los radicandos.

3.2. Producto de radicales de distinto índice.-
Para multiplicar radicales de distinto índice, primero se reducen a índice común y luego se multiplican los radicandos.

División:

4.1. División de radicales del mismo índice.-
Para dividir radicales del mismo índice, se deja el índice y se dividen los radicandos.

4.2. División de radicales de distinto índice.-
Para dividir radicales de distinto índice, primero se reduce a índice común y luego se dividen los radicandos.

Potenciación:

Para elevar un radical a una potencia se eleva el radicando a dicha potencia, manteniendo el índice.

Radicación:

Para hallar el radical de un radical se multiplican los índices de ambos.

2. ¿Qué son los números reales?

Los números reales son números usados para representar una cantidad continua (incluyendo el cero y los negativos). Se puede pensar en un número real como una fracción decimal posiblemente infinita, como 3.141592.... Los números reales tienen una correspondencia biunívoca con los puntos en una línea.

Wikipedia, Numero Real, visitada el 21 de Octubre del 2005, disponible en la web: <es.wikipedia.org/wiki/Números_reales>

Memo profesor, definicion de números reales, visitada el 21 de Octubre del 2005, disponible en: <http://www.memo.com.co/fenonino/aprenda/matemat/matematicas6.html>

Propiedades del conjunto de los números reales

Definiremos al conjunto de los números reales, y lo denotaremos por , al conjunto de todos los números racionales e irracionales , o sea $\mbox{${\mathbb{R}}$} ={\mathbb{Q}}\cup {\mathbb{I}}$. Veamos ahora la definción axiomática de los números reales.

Renato Alvarez Nodarse, Conjunto de los números reales, visitada el 21 de Octubre del 2005, disponible en l web:
<http://euler.us.es/~renato/clases/eam2002-3/node18.html>

Valor absoluto en R:

Propiedades:



Intervalos en R

Se llama intervalo al conjunto de números reales comprendidos entre otros dos dados: a y b que se denominan extremos del intervalo.
También se llama intervalo al segmento determinado por los puntos
a y b.

El intervalo abierto no incluye a los extremos (se representa con paréntesis).
El intervalo cerrado
incluye a los extremos [se representa con corchetes]
.
Naturalmente también pueden definirse intrevalos semiabiertos o semicerrados, que estén abiertos por un extremo y cerrados por el otro.

Juan Madrigal Muga, Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000, Intervalo en R, visitada el 25 de Octubre del 2005, disponible en la web:
<
http://www.cnice.mecd.es/Descartes/Bach_HCS_2/Sucesiones_numeros_reales_limites/Intervalos.htm>

3. ¿Cómo calculo el perímetro y área de las distintas figuras geométricas?
Cuadrado:

El área de un cuadrado es igual a: el cuadrado de uno de sus lados. Y su perímetro es igual a: cuatro veces el lado.

Rectángulo:

El área de un rectángulo es igual a: Base x Altura. Y su perímetro es igual a : 2base + 2 Altura.

Triángulo:

Por otro lado sabemos, que hay una gran variedad de triángulos, los cuales tienen distintas fórmulas para hallar su área.

Paralelogramo:

El área de un paralelogramo es igual a: Base x Altura

Trapecio:

El área de un trapecio es igual a:

Para hallar el perímetro de un trapecio hay que tener en cuenta que tipo de trapecio es, ya que cada tipo tiene su fórmula para halla su perímetro.

Rombo:

El área del rombo es igual a: Diagonal mayor x Diagonal menor/2.

Pentágono:

El perímetro del pentágono es igual: a la suma de sus lados. Y su área es igual a: perímetro x apotema /2.

Hexágono:

El perímetro de un hexágono es igual a: la suma de susu lados y su perímetro es igual a: perímetro x apotema /2.

Círculo:

El área de un círculo es igual a: y su perímetro es igual a:

4. ¿Cómo calculo el volumen, área lateral y total de los diferentes sólidos?

  • Cubo :

Un cubo = a3

  • Paralelepípedo
  • Prismas:

a)Un prisma rectangular = a b c

b)Un prisma irregular = b h

  • Pirámides:

Una pirámide = (1/3) b h

  • Cilindro:

Un cilindro = b h = pi r2 h

  • Cono:

Un cono = (1/3) b h = (1/3) pi r2 h

  • Esfera:

Una esfera = (4/3) pi r3

David, Volúmenes, visitada el 26 de Octubre del 2005, disponible en la web:
<
http://www.math2.org/math/geometry/es-areasvols.htm#surfaces>

3 Comments:

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